Homogenisierung mit Hilfe von Optimierung (Subprojekt des DK Numerical Simulations in Technical Siences)

Projekt: Foschungsprojekt

Projektdetails

Beschreibung

Forschungsgebiet



Jedes Material besitzt eine spezifische Mikrostruktur, welche das
makroskopische Materialverhalten bestimmt. Auch Materialien wie Stahl, welche
üblicherweise als homogen betrachtet werden, besitzen eine ausgeprägte, nicht
homogene Mikrostruktur. Glücklicherweise ist diese Mikrostruktur um einige
Größenordnungen kleiner als die Makrostruktur, sodass die Annahme eines
homogenen Materialverhaltens eine sehr gute Näherung darstellt. Das bedeutet
auch, dass in diesem Fall innerhalb der linearen Theorie das Hookesche Gesetz
in seiner isotropen Form angewendet werden kann. Bei faserverstärkten Materialien
bzw. Verbundwerkstoffen, bei welchen die verstärkende Materialkomponente
manchmal sogar auf der Makroebene sichtbar ist, müssen jedoch anisotrope
Materialgesetzte herangezogen werden. Aber sogar dann wird meist ein homogenes
Kontinuum angenommen und effektive Materialdaten in der Konstitutivgleichung
verwendet. Ein Ansatz zur Berechnung effektiver Materialparameter ist die
Betrachtung des mikroskopischen Materialverhaltens und des Übergangs auf die
makroskopische Skala. Dies kann mittels unterschiedlicher Verfahren
der Homogenisierung erreicht werden.



Ein rechnerisch aufwendiges Homogenisierungsverfahren ist der
Multiskalen-Ansatz, der jedoch nicht auf effektive Materialparameter angewiesen
ist [10],[12]. Dieser Ansatz ist allgemein anwendbar, jedoch sehr rechenintensiv
für konkrete Anwendungen. Andererseits gibt es wie oben beschrieben die
Möglichkeit, effektive Materialparameter durch die Abbildung mikroskopischer
Materialeigenschaften auf ein makroskopisches Materialgesetz zu
bestimmen. Dieser Ansatz ist weniger rechenintensiv als der erste, jedoch
nicht allgemein anwendbar. Das bedeutet, dass der gesamte
Homogenisierungsprozess für unterschiedliche Mikrostrukturen jeweils
wiederholt werden muss.

In diesem Projekt wird der zweite Ansatz verwendet, wobei die Abbildung
zwischen Mikro- und Makroebene durch ein Optimierungsverfahren durchgeführt
wird. Der Optimierungsschritt ist notwendig, da hier, im Gegensatz zu anderen
Ansätzen, Trägheitseffekte auf der Mikroebene berücksichtigt werden. Dies
resultiert in ein zeitabhängiges Verhalten auf der Mikroebene, und
dementsprechend auch auf der Makroebene.




Stand der Technik



Effektive Materialeigenschaften von Materialien mit Mikrostruktur werden
hauptsächlich durch Homogenisierungsverfahren bestimmt. Ein typisches Beispiel
dafür sind Verbundwerkstoffe [2],[4]. Techniken, die eigentlich für derartige
Materialien entwickelt wurden, sind oft auch auf andere Materialien mit
Mikrostruktur anwendbar. Für den Fall zellulärer Schäume mit spezieller
Mikrostruktur stehen sogar analytische Methoden zur Verfügung [3]. Ebenso
können tragwerksähnliche Strukturen mit analytischen Methoden behandelt
werden [5]. Für granulare Materialien werden hauptsächliche numerische Ansätze
gewählt [9]. Die mit verschiedenen Ansätzen gefundenen Schranken für effektive
Materialdaten auf der Makroebene sind in [11] zusammengefasst. Eine Übersicht
über numerische Methoden zur Beschreibung des makroskopischen Verhaltens auf
Basis der Mikrostruktur kann in [12] gefunden werden.

All diese Ansätze haben gemein, dass das mikrostrukturelle Verhalten statisch
modelliert wird, das bedeutet, dass Trägheitseffekte auf der Mikroebene vernachlässigt
werden. Diese Annahme ist vor allem durch die Skalenseparation, die als groß;
angenommen wird, motiviert [8].

In der Literatur können nur wenige Ansätze gefunden werden, die
Trägheitseffekte auf der Mikroebene berücksichtigen [7]. In einem solchen Fall
ist das mikroskopische Verhalten zeit- bzw. frequenzabhängig (bei
zeitharmonischer Anregung). Aus diesem Grund sind auch entsprechende effektive
Materialeigenschaften abhängig von der Zeit bzw. Frequenz. Derartiges
Materialverhalten kann z.B. durch visko- oder poroelstische
Konstitutivgleichungen beschrieben werden.



Im Gegensatz zu statisch modellierten Mikrostrukturen erscheint eine analytische
Homogenisierung bei allgemeinen Konfigurationen als nicht möglich bzw. zu
kompliziert. Stattdessen kann ein Optimierungsproblem definiert werden, um
makroskopische Materialdaten aus mikroskopischem Verhalten zu bestimmen [1].

Projekziel



Es wurde bereits ein genetischer Algorithmus untersucht, um dieses
Optimierungsproblem zu lösen und lokale Minima zu vermeiden. Bislang wurde jedoch nur eine einfache Kostenfunktion ohne Beschränkungen zur Bestimmung
zeit- bzw. frequenzabhängiger Materialdaten verwendet. Da das makroskopische
Materialgesetz aber thermodynamisch konsistent (der 2. Hauptsatz der
Thermodynamik muss erfüllt sein) sein muss, ist es notwendig ein
Optimierungsverfahren zu finden, welches thermodynamische Beschränkungen
zulässt. Darüber hinaus ist die Effizienz des genetischen Algorithmus nicht
zufrieden stellend. Daher ist es notwendig eine Strategie zu entwickeln,
welche die globale Lösungsfähigkeit des genetischen Algorithmus mit der
Effektivität lokaler Optimierungsverfahren kombiniert.


In einem ersten Schritt wird die Mikrostruktur mit einem einfachen
Balkenmodell im Frequenzbereich beschrieben, um Input-Daten für den
Optimierungsprozess zu bekommen. Auf der Makroebene wird ein dreidimensionales
viskoelastisches Materialgesetz gewählt, für welches die Parameter gefunden
werden sollen.

In einem weiteren Schritt sollen aufwendigere Berechnungen auf der Mikroebene mit zwei- und dreidimensionalen Kontinuumsmodellen durchgeführt werden. In diesem Zusammenhang werden zusätzlich Mikrostrukturen behandelt, welche auf der Makroebene anisotrope Materialgesetze erzeugen.

Referenzen



[1] S. Alvermann, M. Schanz: Influence of Inertia on the Microscale in Homogenization. Proc. Appl. Math. Mech. 4 (2004) 179-180.



[2] H. J. Böhm: Modeling the Mechanical Behavior of Short Fiber Reinforced Composites. In Mechanics of Microstructured Materials (H. J. Böhm, ed.), CISM International Centre for Mechanical Sciences. Courses and Lectures, Nr. 464, Springer-Verlag, Wien New York, 2004.


[3] L. J. Gibson, M. F. Ashby: Cellular Solids. Pergamon Press, Oxford, 1988.


[4] Z. Hashin: Analysis of Composite Materials - A Survey. J. Appl. Mech. ASME 50 (1983) 481-504.



[5] J. Hohe, W. Becker: Effective Stress-Strain Relations for Two-Dimensional Cellular Sandwich Cores: Homogenization, Material Models, and Properties. Appl. Mech. Rev. 55 (2002) 61-87.


[6] M. Hintermüller, K. Ito, K. Kunisch: The Primal-Dual Active Set Strategy as a Semi-Smooth Newton Method, SIAM J. Optim. 13 (2002) 865-888.


[7] R. S. Lakes: Micromechanical Analysis of Dynamic Behavior of Conventional and Negative Poisson's Ratio Foams. J. Engrg. Mat. Tech. 118 (1996) 285-288.



[8] C. Miehe: Computational Micro-to-Macro Transitions for Discretized Micro-Structures of Heterogeneous Materials at Finite Strains based on the Minimization of Averaged Incremental Energy. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 192 (2003) 559-591.


[9] C. Miehe, J. Dettmar: A Framework for Micro-Macro Transitions in Periodic Particle Aggregates of Granular Materials. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 193 (2004) 225-256.


[10] E. Sanchez-Palenzia: Non-Homogeneous Media and Vibration Theory, Vol. 127, Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1980.



[11] S. Torquato: Random Heterogenous Media: Microstructure and Improved Bounds on Effective Properties. Appl. Mech. Rev. 44 (1991) 37-76.


[12] T. I. Zohdi, P. Wriggers: Introduction to Computational Micromechanics, Vol. 20, Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2005.
StatusAbschlussdatum
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/10/071/10/11