FWF - Pfade - Pfade und Ränder - ein weiter Bogen

In für den Forschungszugang von W. Woess typischer Weise zielt dieses Projekt auf mathematische Forschung am Schnittpunkt verschiedener Gebiete ab. Im Fokus steht die Verbindung von Strukturtheorie mit Wahrscheinlichkeitstheorie, Analysis und Kombinatorik. “Zufallspfade” sind stochastische Prozesse, die in diskreten Zeitschritten auf einem Zustandsraum mit geometrischer, algebraischer oder kombinatorischer Struktur ablaufen. Die Denkweise wird durch den Titel einer Arbeit aus 1921 von G. Polya illustriert: “Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie betreffend die Irrfahrt im Straßennetz”. Seither hat sich die Theorie signifikant weiterentwickelt. Im vorliegenden Projekt ist der Zustandsraum nicht immer ein Graph (Straßennetz), und der Prozess kann auch in kontinuierlicher Zeit ablaufen, oder mit zunehmender Anzahl sich bewegender Partikel. Die “Ränder” des Titels komplettieren den Zustandsraum im Unendlichen. Das heißt, dass man dadurch Punkte im Unendlichen unterscheidet. In Thema A läuft der Zufallsprozess direkt auf einem Rand: ultrametrische Räume kann man als Ränder von Bäumen beschreiben. Sie kommen zB in der mathematischen Biologie vor, während hier die Inspriation aus der theoretischen Physik kam. Diese Räume tragen eine Familie von natürlichen Zufallsprozessen, von sogenannten hierarchischen Laplace-Operatoren induziert. Der Plan ist, zufällige Störungen der Operatoren mit einer Randomisierung des zugrundeliegenden Baumes zu kombinieren. B. Verzweigende Irrfahrten modellieren eine Population, die sich entsprechend einem “random walk” bewegt, während sie durch fortgesetzte Reproduktion zunimmt.Wir wollen die Zufallsfolge der empirischen Verteilungen der Population auf Bäumen und anderen unendlichen Graphen, sowie ihr Verhalten im Unendlichen untersuchen. Thema C betrifft Varianten der Brownschen Bewegung, wo die Geometrie negativ gekrümmt ist wie in Ensteins Modell des Universums, und der Zufallspfad trifft auf Linien, wo er “gestört” wird. Wir wollen das Langzeitverhalten durch den sogenannten Martin-Rand beschreiben; die Aufgabe ist, diesen rigoros zu beschreiben. D. Polyharmonische Funktionen treten zB in Gleichungen der Elastizitätstheorie auf. Nur wenig erforscht wurde das diskrete Gegenstück betreffend “random walks”. Wir planen, polyharmonische Funktionen auf Bäumen und verwandten Strukturen genauer zu untersuchen. E. Das Zählen überschneidungsfreier Pfade in Graphen bezieht die Motivation aus der statistischen Physik und beinhaltet schwierige Methoden und berühmte Resultate. Auf den ersten Blick recht verschieden von A-D, aber natürlicher Teil des “Panoramas” des Antragsstellers, werden diese Pfade vom Gesichtspunkt der Theorie der formalen Sprachen studiert, was eine Verbindung zur den theoretischen Computerwissenschaften herstellt. Für dieses Projekt und seine MitarbeiterInnen wird eine intensive Interaktion mit dem FWF-Doktoratskolleg “Discrete Mathematics” erwartet, dessen Sprecher W. Woess ist.