FWF - Groups - Graphen und Gruppen

Gruppen sind mathematische Objekte, die in gewisser Weise als abstraktes Modell für Symmetrie verstanden werden können. Das Konzept entstand Mitte des 19. Jahrhunderts, Gruppentheorie ist aber nach wie vor ein aktives Forschungsfeld in der Mathematik. Das ist nicht zuletzt der Tatsache geschuldet, dass Symmetrien nicht nur in der Mathematik, sondern auch in vielen Naturwissen-schaften wie Physik und Chemie, sowie in der Informatik eine große Rolle spielen. In der geometrischen Gruppentheorie untersucht man abstrakte Eigenschaften von Gruppen nicht direkt, sondern über einen Umweg: Man studiert Cayleygraphen, geometrische Objekte, die alle Informationen über die Struktur der Gruppe enthalten. Im allgemeinen gibt es zu einer Gruppe viele verschiedene Cayleygraphen. Als geometrische Gruppeneigenschaft bezeichnet man in die¬sem Zusammenhang eine Eigenschaft dieser Cayleygraphen, die nur von der Gruppe und nicht von der Wahl des Graphen abhängt. Einige besonders interessante geometrische Gruppeneigenschaften stehen in engem Zusammen-hang mit Zufallsprozessen, die auf diesen Graphen stattfinden. Ursprünglich von Anwendungen aus der Physik motiviert hat das Studium solcher Zufallsprozesse mittlerweile ein mathematisches Eigenleben entwickelt und ist ein aktives und schnell wachsendes Forschungsgebiet innerhalb der Mathematik. Das Projekt „Graphen und Gruppen“ soll zum besseren Verständnis von Zufallsprozessen auf Cay-leygraphen beitragen. Zu diesem Zweck werden wir zwei komplementäre Forschungsrichtungen verfolgen: Im ersten Teil des Projektes werden wir ein Forschungsprojekt fortführen, dessen Ziel die Erfor-schung von sogenannten Graphen-Kranzprodukten von Gruppen ist. Diese sind vor allem deshalb interessant, weil sich mit ihrer Hilfe potenziell Gruppen mit unerwarteten Eigenschaften konstruie¬ren lassen. Das könnte unter anderem zu einem Gegenbeispiel zu einem vermuteten Zusammen¬hang zwischen Cost und l2-Bettizahlen von Gruppen führen. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Suche nach Teilstrukturen in Cayleygraphen, die das Stu-dium von Zufallsprozessen deutlich vereinfachen könnten. Ziel hierbei ist es, bestimmte Graphen (Gitter und Bäume) als geeignet eingebettete Teilstrukturen zu finden. Da Zufallsprozesse auf Git-tern und Bäumen vergleichsweise gut erforscht sind kann dies erheblich dazu beitragen, solche Prozesse auch auf allgemeineren Cayleygraphen zu verstehen.