Analytische Methoden für partielle Differentialgleichungen

Klassische Methoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen (=PDE) basieren hauptsächlich auf expliziten Lösungsformeln wie beispielsweise die Poissonsche Integralformel zur Lösung der Dirichletschen Randwertaufgabe der Laplace-Gleichung in Kugeln. Gegenwärtoge Methoden zur Lösung von (linearen und nicht-linearen) PDE machen Gebrbauch von funktional-analytischen Hilfsmitteln. Diese bestehen zum Beispiel darin, ein Problem für eine PDE auf ein Fixpunkt-Problem zurückzuführen und dieses durch topologische Methoden zu lösen. Die Zurückführung selbst kann beispielsweise dadurch geschehen, dass man den (elliptischen) Differentialoperator durch ein singuläres Integral umkehrt. Schwerpunkte des Arbeitsgebietes sind Rand- und Anfangswert-Probleme und deren Lösung in geeigneten Funktionen-Räumen (wie Banach, Hilbert- und Sobolev-Räumen). In vielen Fällen können dabei die funktional-analytischen Methoden kombiniert werden mit Methoden der komplexen Analysis und der Clifford-Analysis. Ein wichtiges Gebiet der komplexen Analysis der Ebene ist die Theorie der allgemeinerten analytischen Funktionen, die es ermöglicht, mit komplexen Methoden nicht nur das Cauchy-Riemann-system, sondern sogar voll nicht-lineare (elliptische) Systeme erster Ordnung zu lösen. Clifford-Analysis, weiters, verallgemeinert komplexe Methoden auf höher-dimensionale euklidische Räume. Schliesslich umfasst das Forschungs-Programm auch die Optimierung von Fixpunkt-Methoden.