Symmetrische Galerkin Randelementmethode für poroelastische Materialien

Forschungsgebiet

Anwendungen von Wellenausbreitung in porösen Medien gibt es in vielen technischen Anwendungen, z.B. in der Bodenmechanik, in der Erdölindustrie und in der Akustik. In allen diesen Anwendungen kann ein Unterschied zwischen Nah- und Fernbereich beobachtet werden, welcher aus dem Materialverhalten resultiert (nichtlinear im Nah- und linear im Fernbereich). Zur Lösung solcher Probleme sollten lokal unterschiedliche Methoden verwendet werden, die dann zur Lösung des Gesamtproblemes aneinander gekoppelt werden.
Die bevorzugte Methode zur Modellierung von Wellenausbreitungsvorgängen in porösen Medien mit linearem Materialverhalten ist die Randelementmethode. Das lässt sich durch die geometrischen Abmessungen häufig auftretender Probleme in technischen Anwendungen (großes Volumen/Oberfläche) motivieren, wofür Randelemente besonders geeignet sind. Ebenso wird die Abstrahlbedingung implizit erfüllt.
In einigen der zuvor genannten Anwendungen hat das Problemgebiet zumindest halb unendliche Ausmessungen. Jede numerische Methode zur Behandlung solcher muss dem Rechnung tragen, was durch häufig durch infinite Elemente passiert.

Stand der Technik

Zur Modellierung von porösen Medien ist die Biotsche Theorie [1] weitgehend akzeptiert. Diese Theorie führt auf ein System von drei linearen gekoppelten hyperbolischen Differentialgleichungen, das es zu lösen gilt. In der Vergangenheit sind unabhängig voneinander Finite Elemente- und Randelementmethoden ( [3] FEM und  [4] BEM) entwickelt worden um dieses System zu lösen. Eine symmetrische Galerkin Randelement Methode wurde bis dato allerdings noch nicht entwickelt.
Bei einer korrekten Diskretisierung von halb unendlichen Gebieten sollten infinite Elemente verwendet werden, was im Umfeld von zeitabhängigen Problemen und auch für Randelementmethoden nicht einfach ist (siehe [2]). Für eine symmetrische Randelement-Formulierung erfordert die Entwicklung solcher Elemente besonderes Augenmerk hinsichtlich der numerischen Integration.

Projektziel

Das Hauptziel ist die Entwicklung einer symmetrischen Galerkin Randelementmethode für gesättigte lineare Poroelastodynamik. Der Grund dafür liegt darin, dass man davon ein stabileres Verhalten als von unsymmetrischen Formulierungen erwarten kann und weiters diese symmetrische Formulierung für eine spätere Kopplung mit Finiten Elementen besser geeignet sein sollte.
Eine der Stärken von Randelementmethoden gegenüber Finiten Elementen ist die Modellierung von Wellenausbreitung in halb-unendlichen Gebieten mit linearem Materialverhalten, z.B. der Fernbereich bei Schallabstrahlung. Allerdings tritt bei numerischen Methoden die Notwendigkeit auf, die Diskretisierung irgendwo abzubrechen. Um dieses Problem zu lösen und diese zuvor genannte Stärke ausspielen zu können, sollten infinite Elemente verwendet werden. Die Entwicklung solcher ist ein weiteres Ziel.

Literatur

[1] M.A. Biot.
Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. I/II. Lower/Higher frequency range.
J. Acoust. Soc. Am., 28(2), 168-178/179-191, 1956.

[2] L. Kielhorn and M. Schanz.
Convolution quadrature method-based symmetric Galerkin boundary element method for 3-d elastodynamics.
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 76:1724-1746, 2008.

[3] R.W. Lewis and B.A. Schrefler.
The Finite Element Method in the Static and Dynamic Deformation and Consolidation of Porous Media. John Wiley & Sons, Chichester, 1998.

[4] M. Schanz.
Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic Continua: A
Boundary Element Approach, volume 2 of Lecture Notes in Applied Mechanics.