Spezialforschungsbereich (SFB) F55 Quasi-Monte Carlo Methoden: Theorie und Anwendungen

  • Grabner, Peter (Teilnehmer (Co-Investigator))
  • Tichy, Robert (Teilnehmer (Co-Investigator))
  • Kusner, Woden Barnard, (Teilnehmer (Co-Investigator))
  • Ziefle, Jonas, (Teilnehmer (Co-Investigator))
  • Brauchart, Johann (Teilnehmer (Co-Investigator))
  • Iaco, Maria Rita, (Teilnehmer (Co-Investigator))
  • Aistleitner, Christoph (Teilnehmer (Co-Investigator))

Projekt: Foschungsprojekt

Beschreibung

Unter dem Begriff Quasi-Monte Carlo (QMC-) Methoden" verstehen wir alle Methoden, in denen
sorgfältig ausgewählte deterministisch erzeugte Folgen (quasi-Zufalls-Folgen) auf der Basis
hoch entwickelter und geeignet konstruierter Modellierungsumgebungen für Simulationen eingesetzt
werden, um quantitative Informationen in verschiedensten Anwendungsbereichen gewinnen
zu können. Die Weiterentwicklung von QMC-Methoden bedarf verschiedener Komponenten:
die Erzeugung, das Studium und die Analyse von Verteilungseigenschaften von endlichen
oder unendlichen Punktmengen in verschiedenen Räumen;
die Entwicklung, das Studium und die Analyse geeigneter theoretischer Modelle auf denen
die Anwendung von QMC Methoden beruht plus Fehlerabschätzungen;
die effziente Umsetzung der theoretischen Modelle und der Algorithmen für die Erzeugung
der quasi-Zufalls-Punktmengen in Form hochentwickelter Software;
die konkrete Anwendung von QMC Methoden in verschiedensten Bereichen, und die
Diskussion der erzielten Ergebnisse und der Performance der QMC Methoden.
Entsprechend ist der Einsatz von Techniken aus sehr unterschiedlichen mathematischen Teilgebieten
für eine umfassende Analyse und Weiterentwicklung von QMC Methoden notwendig,
insbesondere aus den Bereichen Zahlentheorie, diskrete Mathematik, Kombinatorik, harmonische
Analysis, Funktionalanalysis, Stochastik, Komplexitatstheorie, Theorie von Algorithmen
und numerische Analysis. Daruber hinaus ist ein profundes Wissen über die jeweiligen Anwendungsbereiche
vonnöten. Das Gebiet der Theorie und Anwendung von QMC Methoden ist ein
moderner und äußerst aktiver Teilbereich der mathematischen Forschung. Das zeigt sowohl die
groe Anzahl von in den letzten Jahrzehnten zu diesen Thematiken publizierten Forschungsartikeln
als auch etwa der groe und wachsende Erfolg der Konferenzreihe Monte Carlo und
Quasi-Monte Carlo in Scientic Computing"(MCQMC), die 1994 mit der ersten Konferenz in
Las Vegas gestartet wurde und zuletzt 2012 in Sydney ausgetragen wurde. Die österreichischen
Forschungsgruppen, die diesen SFB initiieren, spielen führende Rollen in der Entwicklung
von QMC Methoden. Ziel dieses SFB ist es, die Kooperation zwischen diesen Forschungsgruppen
und mit deren internationalen ForschungspartnerInnen wesentlich zu intensivieren, neue
Forschungs-richtungen und neue Methoden im Bereich QMC nachhaltig zu forcieren und eine
neue Generation hoch talentierter junger ForscherInnen im Gebiet QMC heranzubilden.



Subprojekte

FWF - DEDIFI; Diophantische Gleichungen, Diskrepanz und Finanzmathematik. (Projektleiter: Tichy, Robert; O.Univ.-Prof. Dr.phil.)

Quasi-Monte Carlo-Methoden (QMC) werden oft in der angewandten Mathematik verwendet, besonders für die Berechnung mehrdimensionaler Integrale und für die Simulation in der mathematischen Physik und Finanzwissenschaft. Im letzten Jahrzehnt sind probabilistische Methoden erfolgreich eingesetzt worden, um für QMC-Methoden Fehlerschranken zu erreichen, welche linear von der Dimension abhängen. Eine Kombination probabilistischer Methoden mit diophantischer Analysis führt zu scharfen Grenzwertsätzen für Diskrepanzfunktionen und verwandter Kenngrößen. Zentrale Themen sind: 1. Lakunarität, Symmetrie und diophantische Gleichungen. 2. Pseudozufälligkeit und Diskrepanz. 3. Gleichverteilung und dynamische Systeme. 4. Anwendungen auf Finanzmathematik.



FWF - Minimale Energie und sphärische De

Dieses Teilprojekt des SFB Quasi-Monte Carlo Methoden: Theorie und Anwendungen'' beschäftigt sich mit der Konstruktion von gut verteilten Punktmengen auf Mannigfaltigkeiten, besonders der d-dimensionalen Sphäre. Zwei Kontruktionsprinzipien sollen besonders untersucht werden: Minimale Eenergie: Für eine Menge von N Punkten auf einer Mannigfaltigkeit M und eine positive reelle Zahl s ist die s-Eenergie durch die Summe der negativen s-ten Potenzen der paarweisen Abstände der Punkte gegeben. Eine Kofiguration von N Punkten heißt Punktmenge minimaler Energie, wenn sie diesen Ausdruck minimiert. Die Motivation für die Untersuchung solcher Konfigurationen stammt aus Physik und Chemie, wo Selbstorganisation durch lokale Interaktion oft zu beobachten ist. Wenn N für festen Wert des Parameters s gegen unendlich geht, strebt die Verteilung gegen eine Grenzverteilung; diese wird im Fall sdim(M) konnte das Verhalten erst 2004 durch D. P. Hardin und E. B. Saff geklärt werden. Sphärische Designs: Ein sphärisches t-Design ist eine endliche Punktmenge auf der Sphäre, für die die Quadraturformel mit gleichen Gewichten Polynome bis zum Grad t exakt integriert. Erst 2010 gelang es A. V. Bondarenko et al. zu zeigen, dass es sphärische t-Designs mit O(t^d) Punkten gibt; dies ist dieselbe Größenordnung wie bekannte untere Schranken für diese Anzahl. Im Rahmen dieses Projektes sollen Diskrepanz, Integrationsfehler und Separationseigenschaften von Punktmengen minimaler Energie bzw. Designs untersucht werden. Darüber hinaus sollen auch zahlentheoretische Konstruktionen für gut verteilte Punktmengen betrachtet werden.



FWF - NTPCA; Zahlentheoretische, probabilistische und algorithmische Aspekte der Gleichverteilungstheorie (Projektleiter: Aistleitner, Christoph; Assoc.Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn.)

Die Themen dieses Teilprojekts bestehen aus Fragen zahlentheoretischer, metrischer und analytischer Natur in der Gleichverteilungs- und Diskrepanztheorie. Ferner werden Fragen zur Implementierung von QMC-Methoden zur Anwendung in der Finanz- und Versicherungsmathematik diskutiert. Die theoretischen Ergebnisse bauen auf den klassischen durch Hermann Weyl begründeten Entwicklungen auf und werden durch aktuelle Methoden zur Untersuchung sogenannter GCD Summen bereichert. Die angewandte Seite dieses Projekts wendet sich der hochdimensionalen Integration unter Berücksichtigung der Abhändigkeiten der einzelnen Koordinaten zu. Außerdem werden Irregularitäten von Integranden berücksichtigt, ein Aspekt der für Anwendungen in der Finanzmathematik von großer Bedeutung ist und bisher nicht ausreichend untersucht wurde.
StatusLaufend
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/02/1431/01/22