FWF - Wanderungen - Stochastische Abelsche Netzwerke und Rotor Wanderungen

  • Huss, Wilfried, (Teilnehmer (Co-Investigator))

Projekt: Foschungsprojekt

Projektdetails

Beschreibung

Das vorliegende Projekt widmet sich der Untersuchung zweier Modelle (Irrfahrten und Rotor-Router Wanderungen) auf unendlichen Graphen. Ziel ist ein besseres Verständnis der geometrischen und strukturellen Eigenschaften der Graphen welche die Eigenschaften der Modelle bestimmen. Die in diesem Forschungsfeld benützten Methoden liegen einem Kreuzungspunkt vieler mathematischer Disziplinen (Wahrscheinlichkeitstheorie, Algebra, Graphentheorie, Kombinatorik, Theoretische Informatik). Im folgenden werden die geplanten Forschungsprobleme kurz umrissen.

Rotor-Router Wanderungen (RRW). Informell kann eine Rotor-Router Wanderung auf einem Graphen wie folgt beschrieben werden. Jeder Knoten des Graphen wird mit einem Richtungspfeil (dem Rotor) versehen. Dieser Richtungspfeil bestimmt die Bewegungsrichtung eines Teilchen das sich auf diesem Knoten befindet. Nach dem ein Teilchen von einem Knoten ausgesandt wurde wird der Rotor nach einer vorgegebenen deterministischen Art verändert. Die so erzeugte vollkommen deterministische Wanderung teilt sich viele Eigenschaften mit klassischen Irrfahrten, aber es gibt auch subtile Unterschiede die vom Graphen auf dem die Wanderungen stattfinden abhängen. Ich möchte diese Gemeinsamkeiten und Unterschiede im Detail auf folgenden Arten von Graphen untersuchen: Galton-Watson Bäumen, freien Produkten von endlichen Graphen und Lamplighter Graphen.

Stochastische Abelsche Netzwerke (SAN). Ein Abelsches Netzwerk ist ein Netzwerk von Automaten, ähnlich wie ein zellulärer Automat, mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass die einzelnen Automaten asynchron aktualisiert werden können, und der finale Zustand des Netzwerkes nicht von der Ordnung in der die Automaten ihre Daten verarbeiten abhängt. Die oben vorgestellte Rotor-Router Wanderung ist ein Beispiel eines solchen Abelschen Netzwerkes, wobei jeder Knoten im Graphen einen Automaten mit Rotor als internen Zustand darstellt. Die Abstrakte Theorie der Abelschen Netzwerke wurde erst kürzlich von BOND und LEVINE begründet.

Ein stochastisches Abelsches Netzwerk ist ein Abelsches Netzwerk in dem die Übergangsfunktionen der einzelnen Automaten von einem Wahrscheinlichkeitsraum abhängen können. Eine Reihe bekannter Modelle der statistischen Physik kann als stochastisches Abelsches Netzwerk formalisiert werden: Markovketten, Verzweigende Irrfahrten, Internal DLA, Aktivierte Irrfahrten oder stochastische Sandhaufen. Zusammen mit LEVINE planen wir die Entwicklung der Grundlagen einer Theorie der stochastischen Abelschen Netzwerke, um die genannten Modelle auf eine gemeinsame mathematische Basis zu stellen. Ein Startpunkt dabei ist die Analyse von sogenannten lokal Markov'schen Wanderungen.
StatusAbschlussdatum
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/04/1630/09/16