FWF - VDoZaLF - Werteverteilung von Zeta- und L-Funktionen

Die Untersuchung der Riemannschen Zeta-Funktion ist ohne Zweifel eines der wichtigsten Themen im Bereich der analytischen Zahlentheorie. Diese Funktion war bereits vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler untersucht wurden, der damit einen neuen Beweis von Euklids berühmten Satz über die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen gab. Die Primzahlen sind jene natürlichen Zahlen die nur durch sich selbst bzw. durch eins geteilt werden können, und diese Eigenschaft führt zu vielen praktischen Anwendungen, beispielsweise in der Kryptographie. Die Frage wie die Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen verteilt sind war daher von jeher ein zentrales Thema mathematischer Forschung. Der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann hat die Ergebnisse von Leonhard Euler erheblich verbessert, und gezeigt dass es einen unmittelbaren Zusammenhang zwischen den Werten der Zeta-Funktion und der Verteilung der Primzahlen gibt. Aufgrund dieser Beobachtung wurden die Zeta-Funktion und ihre Besonderheiten intensiv untersucht. In diesem Projekt sollen zwei bestimmte Aspekte der Zeta-Funktion besonders untersucht werden, ebenso wie die Frage ob sich vergleichbare Resultate auch für andere (der Zeta-Funktion verwandte) Funktionen erzielen lassen. Zunächst untersuchen wir die Universalität der Zeta-Funktion, die man sich folgendermaßen vorstellen kann: wenn sich der (dreidimensionale) Graph des Betrags einer Funktion in einer komplexen Variablen wie die Dünen an einer sandigen Küste erstreckt, dann kann jede Düne von beliebiger Form früher oder später im Graph der Zeta-Funktion gefunden werden. Das bedeutet einfach dass die Zeta-Funktion jede andere Funktion früher oder später gut approximieren kann (daher das Wort Universalität). Wir werden untersuchen wie schnell und wie oft dieses Phänomen auftritt. Insbesondere wollen wir zeigen dass sich diese Approximation auch innerhalb einer diskreten Menge von Zeitpunkten erzielen lässt. Es ist außerdem bekannt dass es in jedem stetigen Zeitfenster im Graph der Zeta-Funktion Sanddünen von immer mehr zunehmender Größe gibt. In mathematischer Sprache handelt es sich dabei um extremale Werte der Zeta-Funktion, und im zweiten Teil des Projekts wollen wir solche extremalen Werte für diskrete Zeitpunkte untersuchen. Alle diese Themen werden wir auch für eine breitere Klasse von Zeta- und L-Funktionen untersuchen, welche, in Analogie mit der Riemannschen Zeta-Funktion, Aussagen über Mengen von zahlentheoretischem Interesse zulassen.