FWF - Risk Modelling - Analysis, Simulation und Optimierung

Unfeld und theoretisches Umfeld: Die Risiko Theorie ist ein Forschungsgebiet der angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie. Dabei sollen Risiken, welchen ein Individuum oder ein Unternehmen möglicherweise ausgesetzt ist, durch geeignete stochastische Modelle beschrieben werden. Auf Basis dieser Modelle können infolge Risikokenngrößen berechnet werden. In diesem Projekt sollen spezielle Modelle welche, dynamisch in der Zeit, den Verlauf des Reserveprozesses eines Versicherers abbilden untersucht werden. Die charakteristische Risikokenngröße in diesem Zusammenhang ist die sogenannte Ruinwahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit, dass in der Zukunft Reserven nicht ausreichen um Verpflichtungen aus Schadenfällen zu erfüllen. Natürlich gibt es auch moderne Alternativen zu diesem Konzept der Risikobewertung und auch ökonomische Bewertungsmethoden. Das klassische Modell wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelt und geht auf Filip Lundberg zurück. Nun sind viele Annahmen, die diesem Modell zugrunde liegen nicht mehr zeitgerecht, weshalb einige aktuelle Phänomene nur noch schwer damit zu beschreiben sind. Forschungsfragen: Nun sollen - im Rahmen dieses Forschungsprojekts - moderne Erweiterungen dieses Modells behandelt werden. Besonderer Wert soll dabei auf sich im Laufe der Zeit veränderliche Parameter gelegt werden, womit zum Beispiel verschiedene ökonomische Szenarien inkludiert werden können. Wegen ihrer Flexibilität wird hierfür der Fokus auf die Klasse der stückweise-deterministischen Markov Prozesse gelegt. Obwohl diese Klasse von Prozessen für risikotheoretische Modellierung unglaublich gut geeignet ist, wird sie wegen des Mangels an effizienten Berechnungsmethoden kaum in ihrer Allgemeinheit genutzt. In einem ersten Schritt sollen nun allgemeine analytische und numerische Methoden entwickelt werden mit deren Hilfe allgemeine Funktionale eines solchen Prozesses bestimmt werden können. Da sich viele Risikokenngrößen als Erwartungswerte interpretieren lassen, welche wiederum als Lösung von integro-differenzial Gleichungen charakterisiert werden können, wird sich dieser Teil mit der Analyse solcher, für die numerische Mathematik ungewöhnlichen, Gleichungen beschäftigen. In weiterer Folge können dann mithilfe der entwickelten Theorie auch stochastische Optimierungsprobleme wie zum Beispiel optimale Wahl von Rückversicherung oder Maximierung von ökonomischen Bewertungskriterien behandelt werden. Ein zweiter Teil soll sich mit dem Problem der Parameterunsicherheit beschäftigen. D.h. es werden Techniken erarbeitet welche es erlauben aus dem historischen Verlauf auf die Modellparameter zu schließen. In weiterer Folge soll der Einfluß von Schätzungen auf resultierende Risikomaße untersucht werden. Lösungsansätze und Techniken: Im ersten Schritt werden Methoden aus der Analysis zu integro-differential Gelichungen verfeinert bzw. entwickelt. Der zweite Teil basiert of der Theorie des stochatischen Filterns.