FWF - RIET - Zufälligkeit in der Theorie der Gleichverteilung

Viele natürliche und technische Systeme weisen zufälliges Verhalten auf. Die Wahrscheinlichkeitstheorie liefert die Werkzeuge um dieses Verhalten zu analysieren und um Vorhersagen zu machen. Überraschenderweise zeigen aber auch organisierte und eindeutig festgelegte mathematische Strukturen oft zufälliges Verhalten. So folgt beispielsweise die Verteilung der Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen einem zufälligen Verhalten: wir können mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie recht genau vorhersagen wie viele Primzahlen sich in einem bestimmten Bereich befinden, ohne sie tatsächlich exakt zu zählen. Das Ziel dieses Forschungsprojekts ist es, mathematische Strukturen zu identifizieren die zwar deterministisch konstruiert sind, aber trotzdem zufälliges Verhalten zeigen. Die feinen statistischen Grundlagen zu verstehen, die solche Systeme beschreiben, hilft uns dabei einige ihrer wichtigsten und stabilsten Eigenschaften zu verstehen. Der springende Punkte dabei ist dass uns dieser statistische Zugang oft hilft, eine meist hoffnungslos komplizierte algorithmische Untersuchung zu vermeiden. Zufälliges Verhalten kann man schon bei äußerst einfachen Systemen beobachten. Dazu gehört etwa die Rotation eines Kreises um einen irrationalen Winkel. Die statistischen Eigenschaften dieses Systems hängen auf erstaunlich tiefgehende Weise von den zahlentheoretischen Eigenschaften des Winkels ab - hier gibt es noch immer viele ungelöste Fragen. Wir wollen versuchen, kompliziertere Systeme zu entwickeln in denen zahlentheoretische Aspekte das Langzeitverhalten des Systems steuern. Dieses Forschungsgebiet, das sich im Schnittbereich von Zahlentheorie, Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie befindet, hat in letzter Zeit intensive Beachtung erfahren. Ein anderes einfaches System sind trigonometrische Produkte. Diese spielen eine Rolle in verschiedenen Gebieten wie beispielsweise numerische Analysis, Zahlentheorie, Knoten-Theorie und Quantenphysik. Diese verschiedenen Gesichtspunkte machen trigonometrische Produkte zu einem idealen Forschungsobjekt, und bieten eine Vielzahl an Methoden um starke Resultate zu erzielen. Sie bieten eine Möglichkeit um mehrere fundamentale offene Probleme aus der Theorie der Quanten-Knoteninvarianten zu verstehen, wie etwa deren Invarianz unter Möbius-Transformationen oder anderen wichtigen Transformationen. Das letzte Ziel des Projekts ist es, solche Systems in einem abstrakten Set-Up zu untersuchen, wie etwa auf sogenannten Riemannschen Flächen. Die mathematischen Objekte, die auf solchen Flächen leben, kann man in gewisse schwingende Komponenten zerlegen - in Analogie zu der Art und Weise wie man Töne (z.B. Violinmusik) in verschiedene Frequenzbereiche zerlegen kann. Die Schwingungsbestandteile enthalten viele wichtige Informationen über das Objekt selbst. Das Ziel des Projekts ist es hier, mithilfe der harmonischen Analysis einen universellen Zugang zu zufälligen sowie deterministischen Systemen auf abstrakten Räumen zu finden.