FWF - Probabilistische Untersuchung - Probabilistische Untersuchung mehrdimensionaler Probleme

Projekt: Foschungsprojekt

Beschreibung

Die Entwicklung der Theorie der Gleichverteilung modulo eins und der Diskrepanztheorie startete mit Hermann
Weyls grundlegender Arbeit von 1916. Seither hat sich gezeigt dass diese Konzepte nicht nur von
außerordentlichem theoretischen Interesse, sondern auch in vielen Bereichen der angewandten Mathematik von
großer Bedeutung sind. So basiert etwa die sogenannte
Quasi-Monte Carlo
(QMC) Methode zur numerischen
Integration auf der Beobachtung, dass der Unterschied zwischen dem Durchschnittswert einer Funktion an
bestimmten Beobachtungspunkten und ihrem Integral durch die Variation der Funktion und die Diskrepanz der
verwendeten Punkte beschränkt ist; diese Feststellung, deren mathematische Formulierung als
Koksma-Hlawka
Ungleichung
bezeichnet wird, zeigt dass Punktmengen mit geringer Diskrepanz zur numerischen Integration
verwendet werden können, und da Punktfolgen mit einer Diskrepanz von asymptotischer Ordung von beinahe
N
-1
bekannt sind, liefert QMC oft bessere Ergeb- nisse als
Monte Carlo
(MC) Integration, die einen Fehler von
asymptotischer Ordung
N
-1/2
liefert.
Obwohl die Diskrepanztheorie einen intensiv untersuchten Teilbereich der Mathematik darstellt, sind zahlreiche
grundlegende Fragen noch offen. Insbesondere sind viele bekannte Ergebnisse nur für eine sehr große Anzahl von
Punkten verwendbar, wodurch für die QMC Integration mit einer verhältnismäßig geringen Anzahl von Punkten
(im Vergleich zur Dimension) die theoretische Grundlage fehlt. Diese Beobachtung führte in letzter Zeit zu einem
verstärkten Interesse an hochdimensionaler QMC Integration, da in diesem Fall die Anzahl der Punkte nicht
ausreichend hoch gewählt werden kann, um die bekannten Ergebnisse zu verwenden. Während klassische
Konstruktionen von Folgen mit geringer Diskrepanz meistens rein deterministisch sind, basieren diese neuen
Methoden auf wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen, entweder indem bekannte Konstruktionen randomisiert
werden, oder indem die Existenz bestimmter Punktmengen mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden
bewiesen wird.
Das vorgeschlagene Forschungsprojekt wird sich mit Anwendungen der Wahrscheinlich- keitstheorie auf
hochdimensionale Probleme beschäftigen, insbesondere in der Diskrepanztheorie. Im ersten Jahr werden wir uns
mit sogenannten
lakunären
Funktionenfolgen beschäftigen, die einer bekannten Heuristik zufolge im
eindimsionalen Fall ein ähnliches Verhalten wie Folgen unabhängiger Zufallsvariablen zeigen, und daher
(vorausgesetzt, dass ähnliche Resultate auch in höheren Dimensionen gültig bleiben) zur MC Integration verwendet
werden könnten. Im zweiten Jahr werden wir uns intensiv mit dem Verhalten von Zufallsvektoren beschäftigen,
insbesondere in Hinblick auf die empirische Verteilungsfunktion. Im dritten Jahr werden wir uns schließlich vor
allem mit Diskrepanztheorie beschäftigen, und wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden verwenden, um
Schranken für die Diskrepanz randomisierter QMC-Folgen anzugeben und die Existenz "kleiner" Punktmengen mit
geringer Diskrepanz zu beweisen.
StatusAbschlussdatum
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/07/1231/12/16