FWF - polynomials - Ganzwertige Polynome

In diesem Projekt wollen drei Mathematiker - Sophie Frisch, Guido Peruginelli und die Doktorandin Roswitha Rissner - an der TU Graz Forschung über ganzwertige Polynome treiben und gleichzeitig Methoden aus der Zahlentheorie und der Ringtheorie, die sie anwenden, weiterentwickeln. Ein ganzwertiges Polynom ist ein Polynom (in einer oder in mehreren Variablen) mit rationalen Koeffizienten, das ganzzahlige Werte annimmt, wann immer ganze Zahlen für die Variablen eingesetzt werden. Allgemeiner betrachtet man Polynome mit Koeffizienten im Quotientenkörper K eines Integritätsbereichs D, welche Werte in D annehmen, wenn man Elemente aus D für die Variablen einsetzt. Ringe von ganzwertigen Polynomen haben sowohl ringtheoretisch als auch zahlentheoretisch interessante Eigenschaften. Für einigermaßen brave Integritätsbereiche D (inklusive der Ringe ganzer Zahlen in Zahlkörpern) ist der Ring der ganzwertigen Polynome ein Prüfer Ring, und man kann man mit ganzwertigen Polynomen beliebige Funktionen von D^n nach D interpolieren. Auch erfüllt der Ring der ganzwertigen Polynome ein Analogon des Hilbertschen Nullstellensatzes. Im aktuellen Projekt soll erstens das Potential ganzwertiger Polynome zur Parametrisierung der ganzzahligen Lösungen Diophantischer Gleichungen erforscht werden. Zwei der Beteiligten haben schon Vorarbeiten geleistet und z.B. gezeigt, dass man die ganzzahligen Pythagoräischen Tripel mit einem einzigen Tripel ganzwertiger Polynome parametrisieren kann, während eine Parametrisierung durch Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten mindestens zwei Tripel benötigt. Zweitens sollen in diesem Projekt Ringe von ganzwertigen Polynomen auf Algebren untersucht werden, z.B. der Ring jener Polynome (in einer Variable) mit rationalen Koeffizienten, die jede ganzzahlige n mal n Matrix auf eine ganzzahlige Matrix abbilden.