FWF - polynomials - Ganzwertige Polynome

Projekt: Foschungsprojekt

Beschreibung

In diesem Projekt wollen drei Mathematiker - Sophie Frisch,
Guido Peruginelli und die Doktorandin Roswitha Rissner - an der
TU Graz Forschung über ganzwertige Polynome treiben und
gleichzeitig Methoden aus der Zahlentheorie und der Ringtheorie,
die sie anwenden, weiterentwickeln.
Ein ganzwertiges Polynom ist ein Polynom (in einer oder in mehreren
Variablen) mit rationalen Koeffizienten, das ganzzahlige Werte annimmt,
wann immer ganze Zahlen für die Variablen eingesetzt werden.
Allgemeiner betrachtet man Polynome mit Koeffizienten im
Quotientenkörper K eines Integritätsbereichs D, welche Werte
in D annehmen, wenn man Elemente aus D für die Variablen einsetzt.
Ringe von ganzwertigen Polynomen haben sowohl ringtheoretisch
als auch zahlentheoretisch interessante Eigenschaften. Für
einigermaßen brave Integritätsbereiche D (inklusive der
Ringe ganzer Zahlen in Zahlkörpern) ist der Ring der
ganzwertigen Polynome ein Prüfer Ring, und man kann man mit
ganzwertigen Polynomen beliebige Funktionen von D^n nach D
interpolieren. Auch erfüllt der Ring der ganzwertigen
Polynome ein Analogon des Hilbertschen Nullstellensatzes.
Im aktuellen Projekt soll erstens das Potential ganzwertiger
Polynome zur Parametrisierung der ganzzahligen Lösungen
Diophantischer Gleichungen erforscht werden. Zwei der Beteiligten
haben schon Vorarbeiten geleistet und z.B. gezeigt, dass man
die ganzzahligen Pythagoräischen Tripel mit einem einzigen
Tripel ganzwertiger Polynome parametrisieren kann, während
eine Parametrisierung durch Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten
mindestens zwei Tripel benötigt.
Zweitens sollen in diesem Projekt Ringe von ganzwertigen Polynomen
auf Algebren untersucht werden, z.B. der Ring jener Polynome (in
einer Variable) mit rationalen Koeffizienten, die jede ganzzahlige
n mal n Matrix auf eine ganzzahlige Matrix abbilden.
StatusAbschlussdatum
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/01/1130/12/15