FWF - OTECG - Ordnungstypen und Extremale Kombinatorische Geometrie

Unser Projekt liegt im Bereich der algorithmischen Geometrie, welcher zur Mathematik und Theoretischen Informatik gehört, und in dem man sich mit den theoretischen Hintergründen zur Verarbeitung geometrischer Strukturen in Computerprogrammen beschäftigt. Unsere Forschung hat Anwendungen in der extremalen kombinatorischen Geometrie, in der man sich mit Abschätzungen der Anzahl von unterschiedlichen „Netzwerken“ beschäftigt, die durch gerade Verbindungen zwischen Punkten auf einer ebenen Fläche definiert sind, ähnlich wie bei Landkarten, auf denen Städte durch gerade Routen verbunden sind. Solche Zeichnungen nennt man geometrische Graphen. Geometrische Graphen lassen sich auf viele Arten klassifizieren, z.B. dadurch, ob sie Kreuzungen oder Zyklen enthalten. Für viele Klassen ohne Kreuzungen weiß man, dass die Anzahl der verschiedenen geometrischen Graphen, welche man durch das Verbinden gegebener Punkte erhält, minimiert wird, wenn die Punkte auf einem Kreis angeordnet sind. Gleichzeitig wird bei dieser Anordnung, für viele Klassen von geometrischen Graphen mit Kreuzungen die Anzahl solcher Graphen maximiert. Die Charakterisierung dieser maximierenden und minimierenden Punktmengen je Graphklasse ist ein Ziel unserer Arbeit. Für solche Probleme ist man üblicherweise nicht an der exakten Lage der Punkte interessiert, sondern wie sie relativ zueinander liegen, da es im Allgemeinen keinen Unterschied macht, wenn wir einige Punkte leicht bewegen. Der „Ordnungstyp“ (engl. „order type“) einer Menge von Punkten wird festgelegt durch die Reihenfolge, in der wir drei Punkte passieren, wenn wir entgegen dem Uhrzeigersinn entlang des von diesen Punkten definierten Dreiecks gehen. Das heißt, wir klassifizieren Punktmengen anhand der Orientierung ihrer Punktetripel. In vorangehender Arbeit haben wir eine Relation zwischen Ordnungstypen über die Menge der möglichen kreuzungsfreien geometrischen Graphen darauf definiert. Dadurch konnten wir Ordnungstypen charakterisieren, welche Punktmengen enthalten, die die Anzahl der geometrischen Graphen für gewisse Klassen maximieren bzw. minimieren. Allerdings ist diese Charakterisierung ziemlich allgemein, weshalb wir planen, weitere Relationen zwischen Ordnungstypen zu finden, die uns Einsicht in die Struktur der maximierenden und minimierenden Punktmengen geben. Speziell wollen wir die Anzahl von Triangulierungen (das sind geometrische Graphen, in denen jeder geschlossene Bereich ein Dreieck bildet) abschätzen. Wir werden versuchen, eine Vermutung über die Struktur der Punktmenge, welche die wenigsten Triangulierungen hat, zu beweisen. Dazu wollen wir Einsichten über Relationen und lokalen Transformationen (wie das Ändern der Orientierung von drei Punkten) auf Ordnungstypen nutzen, welche auch allgemein von Interesse sind. Wir werden unterschiedliche Arten solcher Transformationen untersuchen.