FWF - Horozyklische Produkte - Irrfahrten, Zufallskonfiguationen und horozyklische Produkte

  • Huss, Wilfried, (Teilnehmer (Co-Investigator))
  • Sobieczky, Florian, (Projektleiter (Principal Investigator))
  • Woess, Wolfgang (Projektleiter (Principal Investigator))
  • Parkinson, James, (Teilnehmer (Co-Investigator))

    Projekt: Foschungsprojekt

    Projektdetails

    Beschreibung

    Kern dieses Forschungsprojektes sind Zufallskonfigurationen, die von Irrfahrten auf Graphen, bzw. Gruppen generiert werden.


    1.)
    "Lamplighter"-Irrfahrten kann man sich im einfachsten Modell so vorstellen, dass sich in jedem Knoten eines Graphen eine Lampe mit zwei möglichen Zuständen "aus" oder "ein" befindet. Ein "Lampenanzünder" wandert zufällig in dem Graphen; dabei kann er den Zustand der Lampe an dem jeweils besuchten Knoten (zufällig) verändern. Die Zustände des Zufallsprozesses bestehen aus der aktuellen Position des "Lamplighters" im Basisgraphen plus der Konfiguration der eingeschalteten Lampen. Die entsprechende algebraische Konstruktion ist das Kranzprodukt von Gruppen. Im Rahmen des Projektes sollen insbesondere "Lamplighter"-Irrfahrten auf Bäumen untersucht werden.
    2.) Für "Lamplighter"-Irrfahrten auf dem zweiseitig unendlichen Weg hat ein detailliertes Verständnis der Struktur des Zustandsraumes im Rahmen des Vorprojektes FWF 15577 zu mehreren neuen Resultaten geführt. Die genannte Struktur ist die der Diestel-Leader Graphen. Das sind horozyklische Produkte von zwei homogenen Bäumen. In der Folge wurden solche Produkte von mehr als zwei Bäumen detailliert untersucht; das sind Horosphären im Produkt von Bäumen. Im gegenwärtigen Projekt sollen horozyklische Produkte von anderen Strukturen, insbesondere affinen Gebäuden, im Detail untersucht werden. Dies geht Hand in Hand mit dem Studium von Irrfahrten auf diesen Produkten, die eine Art von Verallgemeinerung von "Lamplighter"-Irrfahrten sind.
    3.) Bei "Internal Diffusion Limited Aggregation" ermittiert eine "Quelle". d.h. ein fixer Knoten eines unendlichen Graphen, sukzessive unabhängige Teilchen. Jedes vollführt eine Irrfahrt so lange, bis es auf einen noch nicht besetzten Knoten trifft, wo es sich festsetzt. Wenn n Teilchen sich festgesetzt haben, bilden sie einen zufälligen "Cluster" A(n). Kernfrage ist, wie sich die geometrische Struktur des zugrunde liegenden Graphen auf die asymptotische Form
    von A(n) auswirkt. Dies soll insbesondere für die natürlichen Spannbäume der Zahlengitter ("comb lattices") sowie allgemeiner für Bäume mit endlich vielen Kegeltypen untersucht werden.



    Irrfahrten auf perkolativen Clustern des euklidischen Gitters wurden in der letzten Zeit in Bezug auf den asymptotischen Typ ihrer Rückkehrwahrscheinlichkeit untersucht (e.g. Fontes and Mathieu(2004), Barlow(2004)). Gleichzeitig wurde jüngst für die allgemeineren bez. der Automorphismengruppe invarianten Perkolationen auf transitiven Graphen (z.B. Benjamini & Schramm (1996), Aldous & Lyons (2006)) neue Erkenntnisse erzielt. Zu wichtigen Resultaten, die zunächst nur auf Z(d) (oder wenigstens im Rahmen amenabler Graphen) formuliert waren (z.B. die Eindeutigkeit des unendlich grossen Perkolationsclusters) zeigte es sich, dass im Fall von nicht-amenablen transitiven Graphen dazu konträre Situationen vorherrschen: beispielsweise beim Auftreten unendlich vieler unendlich grosser Cluster. Hier spielt die Eigenschaft der Unimodularität, d.h. die Existenz einer unimodularen, transitiven Untergruppe der Automorphismengruppe, eine wichtige Rolle. Es erlaubt die Formulierung klassischer Resultate, wie etwa die fast sichere Endlichkeit der Cluster bei kritischer Perkolation auf dem zweidimensionalen euklidischen Gitter auch für nicht-amenable Graphen. Dies geschieht mit Hilfe des sog. Mass-transport-principle (z.B. Benjamini & Lyons & Peres & Schramm (1999)). Die Frage nach der Unimodularität bei amenablen Graphen wurde von Soardi und Woess (1990) gelöst: jede Gruppe von Automorphismen von amenablen Graphen ist unimodular. Darüber hinaus wurden Eigenschaften von Graphen, die mit Irrfahrten in Zusammenhang stehen, auf die Frage nach der Invarianz bez. zufälliger Störungen hin untersucht. Ein Beispiel ist die "Positivität der Fluchtrate" der einfachen Irrfahrt (Chen & Peres & Pete (2004)), die in starkem Zusammenhang mit der isoperimetrischen Eigenschaft anchored expansion steht. Die Frage nach einem Phasenübergang (im Sinne von Lyons (2000)) ist nach wie vor Gegenstand aktueller Forschung (Chen & Peres (2003)). Ein wichtiges Kriterium in diesem Gebiet ist die Invarianz bezüglich sog. Quasi-Isometrien (Gromov (1983)). Bespielsweise ist bekannt, dass die Rekurrenz bzw. Transienz und die Amenabilität bzw. Nicht-Amenabilität eines Graphen solche Invarianten sind, währed Unimodularität im Allgemeinen nicht. Vor diesem Hintergrund ist der Hauptgegenstand des Projektes P18703 (FWF) die Ermittlung von Invarianzeigenschaften gewisser geometrischer Kenngrößen, (z.B. Amenabilität, Rekurrenz, Positivität der Fluchtrate, Unimodularität) von Irrfahrten auf transitiven Graphen unter zufälligen Störungen, wie etwa der Perkolation. Eine bevorzugte Methode, die in diesem Projekt verwendet und weiterentwickelt wird, ist das für Vergleiche von Markovketten verwendbare Interlacing (z.B. Hamers (1995)).
    StatusAbschlussdatum
    Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/10/0630/09/09