FWF - Galois Gruppen - Galois Gruppen von Differentialgleichungen

Projekt: Foschungsprojekt

Beschreibung

Dieses Projekt trägt dazu bei, die algebraischen Eigenschaften von linearen Differentialgleichungen
besser zu verstehen. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf Differentialgleichungen, deren
Koeffizienten rationale Funktionen sind.
Lineare Differentialgleichungen sind in den Naturwissenschaften und im Ingenieurwesen
allgegenwärtig. Um mit den Lösungen von linearen Differentialgleichungen symbolisch rechnen zu
können, muss man die algebraischen Relationen zwischen den Lösungen verstehen. Die algebraischen
Relationen zwischen den Lösungen einer gegebenen linearen Differentialgleichung werden durch eine
lineare algebraische Gruppe beherrscht, der sogenannten Differentialgaloisgruppe der linearen
Differentialgleichung. Alle Differentialgaloisgruppen von allen linearen Differentialgleichungen mit
rationalen Koeffizienten werden in der absoluten Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen
Funktionen zusammengefasst. Das Hauptziel dieses Projekts ist es, eine expli zite Beschreibung dieser
Gruppe zu finden. In der Tat glauben wir, dass eine Vermutung von Professor B.H. Matzat zutreffend
ist: Die absolute Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen Funktionen ist eine freie
proalgebraische Gruppe und die Anzah l der Erzeuger dieser freien proalgebraischen Gruppe stimmt mit
der Kardinalität des Koeffizientenkörpers der rationalen Funktionen überein.
Die absolute Differentialgaloisgruppe eines Differentialkörpers ist das differentielle Analogon
der absoluten Gal oisgruppe eines Körpers. Ein Satz von A. Douady, F. Pop und D. Harbater besagt,
dass die absolute Galoisgruppe eines rationalen Funktionenkörpers eine freie proendliche Gruppe ist.
Die Vermutung von Professor Matzat verallgemeinert diese Aussage.
Wichtige Methoden, die in diesem Projekt verwendet werden, sind “Patching” und
Einbettungsprobleme. Unser Plan, Matzats Vermutung zu beweisen, besteht aus zwei Schritten. Im
ersten Schritt soll eine Charakterisierung von freien proalgebraischen Gruppen mit Hilfe v on
Einbettungsproblemen gefunden werden. Im zweiten Schritt soll dann gezeigt werden, dass die
absolute Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen Funktionen diese Charakterisierung
erfüllt. Für diesen zweiten Schritt soll die Methode des “Patchin g” verwendet werden.
StatusLaufend
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/06/1931/05/23