FWF - FAN - Fraktale und Ziffernentwicklungen

Projekt: Foschungsprojekt

Beschreibung

In Österreich wie in Frankreich hat die Forschung über Fraktale unter besonderer Berücksichtigung von Fraktalen,
die aus der Theorie der Zifferndarstellung kommen, eine lange Tradition. Dieses Projekt soll die in beiden Ländern
existierenden Kräfte bündeln und die vorhandenen Sichtweisen zum Thema Fraktale und Zifferndarstellungen
zusammenführen um eine breitere Behandlung dieses Themas zu ermöglichen, als das auf nationaler Ebene
möglich wäre. Diese Synergien bilden einen wesentlichen "added value" des vorliegenden Projektes. Das Projekt
ist in vier Teile gegliedert. Jeder Teil beleuchtet das Thema des Projektes aus einem anderen Blickwinkel.
Arithmetik, Dynamik und Ziffernentwicklungen (ADE)
Topologische Eigenschaften von Fraktalen (ToF)
Rauzyfraktale und Substitutionen (RaSub)
Fraktale unter besonderer Berücksichtigung von Anwendungen (FracApp)
Im Ersten Teil (ADE) werden arithmetische Eigenschaften von Ziffernsystemen studiert. Die Themen reichen von
Transzendenzeigenschaften im Sinne des van der Poorten-Loxton Theorems, das jüngst von zwei Mitgliedern des
französischen Projektteams bewiesen wurde, über natürliche Erweiterungen von Kettenbruchalgorithmen bis hin zu
Zifferndarstellungen in Zahlkörpern, redundanten Zifferndarstellungen und deren Anwendungen in der
Kryptographie. Bereits in den in diesem Teil behandelten Problemen wird deutlich, wie eng das Studium von
Ziffernsystemen mit geometrischen und topologischen Eigenschaften von Fraktalen in Zusammenhang steht.
Daher wird im zweiten Teil (ToF) auf diese Eigenschaften von Fraktalen eingegangen. Die meisten bisher
bekannten topologischen Resultate beziehen sich auf fraktale Teilmengen der Ebene. In engem Kontakt mit den
Topologen Jim Cannon und Greg Conner von der Brigham Young Universität in Provo (Utah, USA) wollen wir im
Rahmen dieses Projekts einen wesentlichen Schritt weiter gehen und topologische Eigenschaften
höherdimensionaler Fraktale betrachten. Die gewonnenen Ergebnisse sollen dann zum Studium der in Teil eins
genannten arithmetischen Eigenschaften von Ziffernsystemen verwendet werden.
Während die beiden ersten Teile sich unter einem allgemeinen Gesichtspunkt mit Ziffernsystemen beschäftigen, ist
Teil drei (RaSub) Rauzyfraktalen und den zugrundeliegenden Substitutionen gewidmet. Unter Verwendung der
Resultate aus Teil eins und zwei wollen wir neue Resultate über Rauzyfraktale, insbesondere im S-adischen Fall,
erzielen. Diese Fraktale geben neue Einsichten in das Verhalten von verallgemeinerten Kettenbruchalgorithmen.
Auch soll im Rahmen dieses Projektes die Forschung im Zusammenhang mit der Pisotvermutung vorangetrieben
werden. Unter Verwendung unterschiedlichster Methoden hoffen wir, im Rahmen dieses Projektes Fortschritte die
Vermutung durch neue Methoden und Techniken zu illustrieren.
Der letzte Teil (FracApp) ist wieder Fraktalen gewidmet. Wir wollen hier verschiedene Eigenschaften von
Fraktalen studieren, wie z. B. Schnitte von Fraktalen mit Geraden oder fraktale Homöomorphismen, die in der
Bildverarbeitung eine Rolle spielen. Dieser Teil des Projektes ist als Schnittstelle für die Anwendung von Fraktalen
in anderen Wissenschaftsbereichen gedacht.
StatusAbschlussdatum
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/03/1330/09/17