FWF - Diameters - Zufällige rekursive Strukturen mit kleinem Durchmesser

Projekt: Foschungsprojekt

Beschreibung

Zufällige rekursive Strukturen mit kleinem Durchmesser
Abstract
Die vorrangigen Ziele des Projekts sind wie folgt: (1) Erlangen eines tieferen Verständnisses der
stochastischen Natur von Zufallsbäumen und allgemeineren Strukturen mit kleinem Durchmesser.
(2) Entwicklung und Erweiterung von allgemeinen analytischen Methoden. (3) Stimulieren
interdisziplinärer Forschung auf internationalem Niveau.
Baumstrukturen spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen wie z.B. Informatik,
Quantenmechanik, Biologie und viele mehr, aber auch in vielen Teilgebieten der Mathematik. Sie
dienen z.B. als Datenstrukturen. Falls man mit zufällig erzeugten Daten zu tun hat und diese in einer
Baumstruktur speichert, dann wird der entstehende Baum ein Zufallsbaum. Um zu verstehen, wie so
ein Baum tyischer Weise aussieht (z.B. um effiziente Algorithmen zum Wiederfinden der Daten zu
designen), muss man große Zufallsbäume systematisch analysieren.
Bäume treten auch oft als Modell für Phänomene der realen Welt auf. Um so ein Modell zu
analysieren, beginnt man mit einfachen Modellen wie z.B. Verzweigungsprozessen. Diese versteht
man mittlerweile schon sehr gut. Der Nachteil ist, dass sie für viele moderne Anwendungen aus
Informatik und Biologie nur ein sehr unrealistisches Modell liefern. Es gibt bessere Modelle, die sich
von ersteren auf den ersten Augenblick durch die Größe ihres Durchmessers klar unterscheiden.
Im Gegensatz zu Verzweigungsprozessen und ähnlichen Baumfamilien gibt es für Bäume mit
kleinem Durchmesser keinen allgemeinen Rahmen, sondern nur viele verschiedene Modelle und
partielle Resultate. Oft taucht in der Analyse die RiccatiDifferentialgleichung
oder eine dazu ähnlich
Differentialgleichung auf. Im Projekt soll dieses Phänomen erforscht werden und existierende
Methode zur Gewinnung von Informationen aus solchen Gleichungen erweitert werden.
Ein weiteres Ziel des Projekts ist die Vertiefung des Verständnisses für die typische Form von
Zufallsbäumen für verschiedene Baumklassen. Dazu kann man z.B. das Profil des Baumes
analysieren und in weiterer Folge die Abhängigkeit von mehreren Formparametern von einander.
In Anwendungen tritt oft das Problem auf, wie viele Möglichkeiten es gibt, ein komplexes System in
lauter voneinander verschiedene Einzelteile zu zerlegen. Das ist ein schwieriges Problem, aber wir
hoffen, dass die Methoden, die wir im Laufe des Projekts entwickeln, uns tiefe Resultate zu diesen
Fragen zu liefern. In diesem Kontext gibt es Beispiele aus der Biologie (Baummodelle), aber auch
andere interessante Strukturen aus anderen Bereichen der Mathematik. Weiters soll noch ein
konkretes Problem aus der Informationstheorie behandelt werden, wo man Bäume bzgl. der
Pfadlänge zählen muss, was zu kleinem Durchmesser und vermutlich vielen ungewöhnlichen
Eigenschaften führt.
StatusLaufend
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/03/1631/05/20