FWF - CPGG - Kombinatorische Probleme auf geometrischen Graphen

  • Hackl, Thomas, (Projektleiter (Principal Investigator))

Projekt: Foschungsprojekt

Beschreibung

Rechnerische Geometrie ist ein relativ junges und sehr aktives Wissenschaftsgebiet im Schnittpunkt zwischen Mathematik und Theoretischer Informatik. Das Studium von Algorithmen und Datenstrukturen war von jeher eine Hauptaufgabe dieser wachsenden Forschungsdisziplin. Obwohl geometrische Graphen, wie der Name schon impliziert, durch geometrische Eigenschaften, wie zum Beispiel x- und y-Koordinaten, definiert sind, sind sie doch auch zu einem wesentlichen Teil von diskreter Natur. Durch diskrete, endliche Punktmengen aufgespannte Geraden(stücke) erlauben einfache, speichereffiziente Datenstrukturen. Zusätzlich zu geometrischen Informationen beinhalten geometrische Graphen auch viele wichtige kombinatorische Zusammenhänge, wie zum Beispiel Nachbarschaftsinformationen. Diese rein kombinatorischen Informationen sind für viele Anwendungen ausreichend und erlauben sehr effiziente und vor allem stabile Algorithmen. Darüberhinaus ist für die Lösung vieler Probleme die geometrische Information redundant. In diesen Fällen können Punktmengen, im Prinzip von geometrischer Struktur, alleine mit rein kombinatorischen Eigenschaften gespeichert werden. Ein einfaches Beispiel dafür ist die Berechnung der konvexen Hülle einer Punktmenge, ein zentrales Teilproblem in unzähligen Algorithmen. Dafür ist es ausreichend, für jedes Tripel a,b,c von Punkten zu wissen, ob Punkt c links oder rechts der von a nach b aufgespannten Geraden liegt. Der sogenannte "Order Type" ist eine solche Datenstruktur. Von geometrischen Eigenschaften befreit zu sein, bringt einen enormen Vorteil bei der Entwicklung sehr einfacher, exakter und somit stabiler Algorithmen mit sich. Daher ist das Gebiet der rechnerischen Geometrie zunehmend mit den Gebieten der diskreten und kombinatorischen Geometrie verknüpft. Im beantragten Projekt planen wir eine Gruppe von hochgradig zusammenhängenden Fragen aus diesem Bereich zu untersuchen, die alle auf rein kombinatorische Probleme reduziert werden können. Obwohl die Problemstellung des Blockierens von Delaunay-triangulierungen auf zweifärbigen Punktmengen nicht von rein kombinatorischer Natur ist - und daher eine Ausnahme darstellt - ist dieses Teilproblem mit den anderen, in diesem Antrag vorgestellten Problemstellungen eng verwandt. Allgemeine Methoden auf zweigefärbten Punktmengen können auch auf die Probleme auf kompatiblen oder isomorphen geometrischen Graphen, auf Fragestellungen zum Thema k-Konvexität und natürlich auch für die Klasse der Erdös-Szekeres Probleme auf zweigefärbten Punktmengen angewandt werden. Darüberhinaus ziehen neue Erkenntnisse und Resultate aus den einzelnen, erwähnten Problemen, direkt vertiefende Einsichten für andere im Projekt behandelte Fragestellungen sowie weitere Fragen aus dem Bereich der diskreten und kombinatorischen Geometrie nach sich.
StatusAbschlussdatum
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/09/1131/12/15