FWF - ComPoSe - EuroGIGA_Varianten von Erdös-Szekeres Problemen auf gefärbten Punktmengen und kompatible Graphen

Projekt: Foschungsprojekt

Beschreibung

Fragen über geometrische Graphen sind eines der zentralen Themen des EUROCORES Programmes EuroGIGA.
Innerhalb dieses Programmes konzentriert sich das gemeinsame Forschungsprojekt ComPoSe auf kombinatorische
Fragestellungen zu Graphen und geometrischen Objekten. Das gegenständliche Projekt ist ein Teil davon und
besteht aus zwei Abschnitten.
Im Jahr 1935 formulierten Erdös und Szekeres folgendes Existenzproblem: Gibt es eine Zahl g(k), sodaß jede
Punktmenge S mit zumindest g(k) Punkten, in allgemeiner Lage (keine drei Punkte liegen auf einer gemeinsamen
Geraden) in der Ebene, eine Teilmenge von k Punkten enthält, die ein konvexes k-Eck bilden? Später wurde diese
Frage von Erdös und Guy verallgemeinert: Was ist die Mindestanzahl von konvexen k-Ecken, die eine Menge von
n Punkten aufspannt? Beide Varianten stellten sich als äußerst schwierig heraus, und es exisitieren zahlreiche
Arbeiten und Teillösungen zu diesen Fragen. In den letzten 75 Jahren sind viele Unterklassen zu diesen Problemen
entstanden. In diesem Projekt betrachten wir eine Variante in der die Punkte der gegebenen Menge in Klassen,
typischerweise mit verschiedene Farben gekennzeichnet, eingeteilt werden. Ein beispielhaftes Problem hier ist die
Frage nach konvexen, leeren, einfärbigen Vierecken: Sei S eine Menge von n Punkten die mit zwei Farben gefärbt
ist. Ein durch vier Punkte aus S aufgespanntes Viereck heißt einfärbig, wenn alle Punkte die gleiche Farbe haben,
und leer wenn kein anderer Punkt von S im Inneren des Vierecks liegt. Die Frage, die wir untersuchen wollen,
lautet: Existiert für jede genügend große Menge von Punkten immer ein leeres, konvexes, einfärbiges Viereck?
Verwandte Fragen in höheren Dimensionen sowie Probleme zu gefärbten Varianten der Delaunay Triangulierung
werden ebenfalls betrachtet.
Die zweite Klasse von Problemen befaßt sich mit kompatiblen Graphen. Eine perfekte, kreuzungsfreie, paarweise
Zuordnung (Paarung) für eine Punktmenge mit einer geraden Anzahl von Punkten ist ein planarer Graph in dem
jeder Knoten (Punk) Grad 1 hat. Zwei solche Paarungen sind kompatibel, wenn Ihre Vereinigung auf der
gemeinsamen Punktmenge ebenfalls planar ist. Darüberhinaus nennt man sie disjunkt, wenn sie keine Kante
gemeinsam haben. Wir wollen folgende Vermutung über kompatible Paarungen untersuchen: Zu jeder perfekten
Paarung einer Punktmenge mit 4n Punkten existiert eine zweite, kompatible und disjunkte perfekte Paarung.
Ähnliche Fragen für Spannpfade, -bäume, -kreise und Pseudo-Triangulierungen werden ebenfalls behandelt. Auch
eine duale Variante für Triangulierungen wird untersucht: können für zwei gegebene Punktmengen isomorphe
Triangulierungen gefunden werden?
Die oben erwähnten Fragestellungen werden als relativ schwer eingestuft. Daher erscheint der erweiterte Rahmen
eines kollaborativen europäischen Forschungsprojektes als ausgezeichnet geeignet um diese Fragen erfolgreich
bearbeiten zu können.
StatusAbschlussdatum
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/10/1131/12/15