FWF - Approximation kommutativen Unterg - Approximation von maximalen kommutativen Untergruppen

Projekt: Foschungsprojekt

Projektdetails

Beschreibung

Dieses Projekt befasst sich mit Verallgemeinerungen. Dort erklären wir die
wichtigsten Begriffe betreffend die Approximation von kommutativen Untergruppen und studieren den
zweidimensionalen Fall genaür. Das Ziel dieses Projektes ist das Entwickeln von effizienten
Approximationsmethoden für Gerade, Ebenen, Winkel, simpliziale Kegel, Polygone und Polyeder durch
``ganzzahlige'' Objekte gleichen Typs (was mit Hilfe von geeigneten Punktgittern exakt definiert wird). Der
vorgeschlagenen Zugang basiert auf verschiedenen Methoden aus der Theorie der mehrdimensionalen Kettenbrüche
und ihrer Interpretation als maximale kommutative Untergruppen von GL(n,R). Erste Schritte in diese Richtung
sind Das klassische Problem der Approximation von reellen Zahlen durch rationale, sowie simultane
Approximation. Zum gegenwärtigen Zeitpunkt ist jedoch noch wenig über geometrische Approximation im
allgemeinen bekannt.
Wir planen, die Theorie der Markoff-Minima zu erweiteren, und insbesondere interessieren wir uns für die
schlechtest-appromierbaren Untergruppen in niedrigdimensionalen Fällen. Wir werden die Verteilung der
Bestapproximanten im Hinblick auf die Dirichletgruppe und die geometrischen Eigenschaften von Kegeln
untersuchen. Das nächste Ziel ist es, Untergruppen-Approximation für die Approximation von Strecken, Geraden,
Arrangements von Geraden und konvexen Polygonen und Polyedern etc. zu nutzen.
J.L. Lagrange, H. Minkowski, C.F. Gauss und F. Klein entdeckten den Zusammenhang (mittels
Kettenbruchentwicklung) zwischen der Approximation von reellen Zahlen durch rationale mit den konvexen Hüllen
von Gitterpunkten in Sektoren. Dieses Projekt wird gleichermaßen versuchen, Zusammenhänge zwischen
Approximationsproblemen und mehrdimensionalen Kettenbrüchen, die zu Kegeln gehoren, herzustellen. Wir
beabsichtigen auch, die Methode der mehrdimensionale Kettenbrüche auf andere geometrische Objekte
anzuwenden.
Ein weiteres Ziel ist der Vergleich von durch den Jacobi-Perron Algorthmus erzeugten Approximanten durch
diejenigen, die von der Approximation von maximalen kommutativen Untergruppen herrühren. Der Jacobi-Perron-
Algorithmus erzeugt eine Folge von Approximanten eines Strahls durch rationalen Strahlen. Im zweidimensionalen
Fall werden alle Bestapproximanten erzeugt. Im dreidimensionalen Fall ist die Situation nicht so einfach, was mit
der Existenz von leeren Gitterteträdern mit beliebig großem Volumen zu tun hat. Trotzdem sind die
Approximanten nicht schlecht und es gibt mehrere diesbezügliche Resultate. Es wäre interessant, diese
Approximanten mit den Bestapproximationen im Sinne von maximalen kommutativen Untergruppen zu
vergleichen.
Das Thema dieses Forschungsprojektes hat Bezüge zu anderen Teilgebieten der Mathematik, insbesondere zur
Approximation durch rationale Kegel, die zu Singularitäten von komplexen torischen Varietäten gehören. Ein
anderer Zusammenhang sind Limites von Young-Diagrammen oder konvexen Gitterpolygonen, die vom
Gesichtspunkt der simplizialen Kegel (anstelle der traditionellen Interpretation als Gitterpunkte im positiven
Oktanten) betrachtet werden können, wobei die rationale Approximation von Kegeln ein wichtiges Argument wird.
StatusAbschlussdatum
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/10/1131/12/13