FWF - AAAGT - Asymptotische Aspekte und Automaten in Gruppentheorie

Projekt: Foschungsprojekt

Beschreibung

Das Forschungsprojekt betrifft mehrere Themen im mathematischen Bereich der geometrischen Gruppentheorie. Im Geiste der modernen Forschung in der geometrischen Gruppentheorie, die vor allem durch die Arbeiten von Gromov ab den 1980er Jahren geprägt wurde, ist es eines unserer Ziele, die möglichen Verbindungen zwischen diesen Themen zu erforschen, da diese schon zu einigen sehr interessanten Ergebnissen geführt haben.
Eine interessante Klasse von Gruppen, in denen Graphen in einem algebraischen Kontext erscheinen, ist die der Automatengruppen. Diese Gruppen werden von Automaten erzeugt und wirken durch Automorphismen auf Wurzelbäumen. Sie wurden in den frühen 1980er Jahren eingeführt, als Grigorchuk das erste Beispiel für eine Gruppe mit intermediären Wachstum konstruiert hat (ein von Milnor gestelltes Problem). Es stellte sich heraus, dass sehr einfache Automaten Gruppen mit exotischen Eigenschaften, die in klassisch definierten Gruppen schwer zu finden sind, erzeugen können. Nekrashevych unterstreicht eine sehr überraschende Verbindung zwischen solchen Gruppen und komplexer Dynamik, die zur Lösung schwieriger Probleme in der Dynamik durch algebraische Methoden führte. Wir planen die Bedingungen, unter denen eine Automatengruppe endlich präsentiert ist zu finden und einige geometrische Eigenschaften der entsprechenden Schreiergraphen zu beschreiben (in Bezug auf Wachstum, die Anzahl der Enden, das Isomorphie-Problem). Durch die Interpretation der Schreiergraphen in Form von vollständigen Automaten, wollen wir die Klasse der von ihnen anerkannten Sprachen studieren.
Wenn eine Präsentation einer Gruppe gegeben ist, kann man ihr einen Graph zuordnen (den Cayleygraph) und geometrische, algorithmische und dynamische Aspekte der Gruppe durch diesen Graphen studieren. Die asymptotischen isoperimetrischen Funktionen auf Cayleygraphen beziehen sich auf das asymptotische Verhältnis zwischen dem Rand oder Durchmessern von Teilgraphen, und ihren „Volumen“. Wir wollen eine dieser asymptotischen Funktionen, die bisher noch nicht so sehr untersucht wurde, die mittlere Dehn-Funktion, durch Irrfahrten erforschen. Eine andere asymptotische Funktion, die Cheeger-Konstante, die über Anwendungen in Computer-Netzwerken verfügt, ist auf Graphen analog Riemannschen Mannigfaltigkeiten definiert. Allerdings bezieht sich die Definition auf Präsentationen von Gruppen und unser Ziel ist, auf Gruppen zu definieren und zu berechnen. Außerdem wollen wir untersuchen, welche Arten von Sprachen und Automaten „gute“ algorithmische Eigenschaften haben und für die Erweiterung der Klasse der „graphenautomatischen-Gruppen“ geeignet sind.
StatusLaufend
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/05/1730/04/20