Schnelle dynamische Randelementmethode mit ACA

  • Messner, Matthias, (Teilnehmer (Co-Investigator))
  • Schanz, Martin (Projektleiter (Principal Investigator))

Projekt: Foschungsprojekt

Projektdetails

Beschreibung

Forschungsgebiet




Wellenausbreitungsphänomene stoßen im Ingenieurwesen auf großes
Interesse, da in praktischen Anwendungen oft die physikalischen Effekte von
Wellen untersucht werden müssen. Ihre Untersuchungen basieren auf
unterschiedlichsten Modellbildungen, anhand derer versucht wird das reale
Problem so exakt wie möglich nachzubilden.


Eine numerische Methode, die verwendet werden kann, solche Phänomene zu
untersuchen, ist die Randelementmethode (BEM) (für einen
Überblick siehe [3]). Sie hat den Vorteil, dass nur der Rand eines Gebietes
diskretisiert werden muss. Im Vergleich zur bekannteren Finite-Element-Methode
(FEM) führt das dazu, dass weniger Unbekannte berechnet werden
müssen. Offensichtlich wird dies bei der Untersuchung von offenen Gebieten,
da die BEM die Sommerfeld'sche Abstrahlbedingung im Unendlichen automatisch
erfüllt und deshalb dort keine Diskretisierung notwendig ist.

Stand der Technik




Trotz dieser Vorteile hat die BEM zwei Schwachpunkte. Erstens sind die
Systemmatrizen vollbesetzt und zweitens ist die Auswertung der Integralkerne
zur Berechnung der Matrixeinträge sehr aufwendig.


Es gibt einige Ansätze die BEM effizienter zu gestalten, sodass sie im
Vergleich zu anderen numerischen Methoden, wie z.B. der FEM,
konkurrenzfähiger wird. Grundsätzlich lassen sich analytische und
algebraische Methoden unterscheiden. Für die ersteren muss jeder
Integralkern einzeln ausgearbeitet werden [4]. Bei algebraischen
Methoden ist dies nicht der Fall, sie können wie
Black-Box-Methoden verwendet werden. Eine sehr effiziente algebraische
Methode ist die Adaptive Cross Approximation (ACA). Unter gewissen
Voraussetzungen ist es durch sie möglich, eine vollbesetzte
Matrix mittels der Berechnung einiger weniger Einträge
anzunähern [2]. Der Speicher- und Berechnungsaufwand kann somit
von O(n&#178) auf O(n log n) reduziert werden. Um
diese Approximationsmethode anwenden zu können, müssen die
Matrizen im H-Matrix Format abgespeichert werden [5].



Projektziel



Ziel des Projektes ist die Anwendung von H-Matrizen und dem ACA
bei der Untersuchung von unterschiedlichsten Problemen mit der BEM. Im
Gegensatz zu statischen bzw. frequenzabhängigen Problemen, für die diese
Methoden bereits eingehend untersucht sind und auch sehr gut funktionieren,
gibt es bei Wellenausbreitungsphänomenen noch offene Fragen.



Die wesentliche Punkte des Projektes sind


-die Anwendung von H-Matrizen und ACA zur Effizienzsteigerung
der BEM,

-die Untersuchung des Approximationsverhaltens der Matrizen bei
Wellenausbreitungsphänomenen,

-die Anwendung dieser Methoden in Zusammenhang mit einer CQM basierten
BEM [1,6].



Literatur


[1]

L. Banjai and S. Sauter.

Rapid solution of the wave equation in unbounded domains.

SIAM Journal on Numerical Analysis, 47 (1):
227-249, 2008.



[2]

M. Bebendorf.

Approximation of Boundary Element Matricess.

Numerische Mathematik, 86 (4): 565-589,
2000.



[3]

D. E. Beskos.

Boundary element methods in dynamic analysis.

Applied Mechanics Review, 40 (1): 1-23,
1987.



[4]

S. Chaillat, M. Bonnet, and J. F. Semblat.

A multi-level fast multipole BEM for 3-D elastodynamics in the
frequency domain.

CMAME, 2008.

accepted.



[5]

W. Hackbush.

A Sparse Matrix Arithmetic Based on H-Matrices. Part I:
Introduction to H-Matrices.

Computing, 62: 89-108, 1999.



[6]

M. Schanz.

Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic
Continua: A Boundary Element Approach
, volume 2 of Lecture
Notes in Applied Mechanics
.

Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2001.



StatusAbschlussdatum
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/09/0731/12/14