Schnelle dynamische Randelementmethode mit ACA

  • Messner, Matthias (Teilnehmer (Co-Investigator))
  • Schanz, Martin (Projektleiter (Principal Investigator))

Projekt: Foschungsprojekt

Projektdetails

Beschreibung

Forschungsgebiet

Wellenausbreitungsphänomene stoßen im Ingenieurwesen auf großes Interesse, da in praktischen Anwendungen oft die physikalischen Effekte von Wellen untersucht werden müssen. Ihre Untersuchungen basieren auf unterschiedlichsten Modellbildungen, anhand derer versucht wird das reale Problem so exakt wie möglich nachzubilden.

Eine numerische Methode, die verwendet werden kann, solche Phänomene zu untersuchen, ist die Randelementmethode (BEM) (für einen Überblick siehe [3]). Sie hat den Vorteil, dass nur der Rand eines Gebietes diskretisiert werden muss. Im Vergleich zur bekannteren Finite-Element-Methode (FEM) führt das dazu, dass weniger Unbekannte berechnet werden müssen. Offensichtlich wird dies bei der Untersuchung von offenen Gebieten, da die BEM die Sommerfeld'sche Abstrahlbedingung im Unendlichen automatisch erfüllt und deshalb dort keine Diskretisierung notwendig ist.

Stand der Technik

Trotz dieser Vorteile hat die BEM zwei Schwachpunkte. Erstens sind die Systemmatrizen vollbesetzt und zweitens ist die Auswertung der Integralkerne zur Berechnung der Matrixeinträge sehr aufwendig.

Es gibt einige Ansätze die BEM effizienter zu gestalten, sodass sie im Vergleich zu anderen numerischen Methoden, wie z.B. der FEM, konkurrenzfähiger wird. Grundsätzlich lassen sich analytische und algebraische Methoden unterscheiden. Für die ersteren muss jeder Integralkern einzeln ausgearbeitet werden [4]. Bei algebraischen Methoden ist dies nicht der Fall, sie können wie Black-Box-Methoden verwendet werden. Eine sehr effiziente algebraische Methode ist die Adaptive Cross Approximation (ACA). Unter gewissen Voraussetzungen ist es durch sie möglich, eine vollbesetzte Matrix mittels der Berechnung einiger weniger Einträge anzunähern [2]. Der Speicher- und Berechnungsaufwand kann somit von O(n&#178) auf O(n log n) reduziert werden. Um diese Approximationsmethode anwenden zu können, müssen die Matrizen im H-Matrix Format abgespeichert werden [5].

Projektziel

Ziel des Projektes ist die Anwendung von H-Matrizen und dem ACA bei der Untersuchung von unterschiedlichsten Problemen mit der BEM. Im Gegensatz zu statischen bzw. frequenzabhängigen Problemen, für die diese Methoden bereits eingehend untersucht sind und auch sehr gut funktionieren, gibt es bei Wellenausbreitungsphänomenen noch offene Fragen.

Die wesentliche Punkte des Projektes sind
-die Anwendung von H-Matrizen und ACA zur Effizienzsteigerung der BEM,
-die Untersuchung des Approximationsverhaltens der Matrizen bei Wellenausbreitungsphänomenen,
-die Anwendung dieser Methoden in Zusammenhang mit einer CQM basierten BEM [1,6].

Literatur

[1]
L. Banjai and S. Sauter.
Rapid solution of the wave equation in unbounded domains.
SIAM Journal on Numerical Analysis, 47 (1): 227-249, 2008.

[2]
M. Bebendorf.
Approximation of Boundary Element Matricess.
Numerische Mathematik, 86 (4): 565-589, 2000.

[3]
D. E. Beskos.
Boundary element methods in dynamic analysis.
Applied Mechanics Review, 40 (1): 1-23, 1987.

[4]
S. Chaillat, M. Bonnet, and J. F. Semblat.
A multi-level fast multipole BEM for 3-D elastodynamics in the frequency domain.
CMAME, 2008.
accepted.

[5]
W. Hackbush.
A Sparse Matrix Arithmetic Based on H-Matrices. Part I: Introduction to H-Matrices.
Computing, 62: 89-108, 1999.

[6]
M. Schanz.
Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic Continua: A Boundary Element Approach, volume 2 of Lecture Notes in Applied Mechanics.
Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2001.

StatusAbschlussdatum
Tatsächlicher Beginn/ -es Ende1/09/0731/12/14

Fingerprint

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